抛物线与相似(1)——中考备考系列[尖子生之路]
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抛物线与相似(1)
——中考备考系列
【试题1】如图1,图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m(k<0)与y2=ax2+b(a>0)的部分图像围成的封闭图形,已知A(1,0)、B(0,1)、D(0,-3).
(1)直接写出这两个二次函数的表达式;
(2)判断图形ABCD是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形ABCD上),并说明理由;
(3)如图2,连接BC、CD、AD,在坐标平面内,求使得△BDC与△ADE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E的坐标.
【图文解析】
(1)基础(常规)题,答案为:
y1=-x2+1;y2=3x2-3.
(2)假设存在正方形EFGH满足条件,如下图示:
若设xE=m(0<m<1),根据抛物线的对称性和解析式,可得到:
EF=2m,EH=yE-yH=(1-m2)-(3m2-3)=4-4m2.
当四边形EFGH为正方形时,有EF=EH,所以有4-4m2=2m(0<m<1),
所以图形ABCD存在内接正方形.
(3)由于C点与E点是对应顶点,且△BCD中的∠BCD为钝角,因此以E为顶点的∠AED也必为钝角,因此有以下几种情况:
以及上述点关于AD对称的点显然也符合题意.如下图示:
下面逐一分析:
情形一:
显然由DC:DB=DE1:DA可求得DE1=2.5,所以E1(-0.5,0).
情形二:注意到本题中的450的角,再根据对称性,不难得到:
所以E2(1.5,-1).
情形三:如下图示:
不难得到AE3与y轴平行,且AE3=2.5(求法与情形一相同).
所以E3(1,-2.5).
情形四:类似于第二种情形的解法,
可得到:
所以E4(-0.5,-2).
综上,使得△BDC与△ADE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E的坐标有4个,即(0,-0.5)或(1.5,-1)或(1,-2.5)或(-0.5,-2).
【拓展与延伸】
若第三问改成:如图,连接BC、CD、AD,在坐标平面内,求使得△ADC与△BCE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E的坐标.
提示:解题思路与原题类似.
【试题2】(2017•兰州)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点,直线AC:y=﹣1/2x﹣6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.
(1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式;
(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标;
(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标;
②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求1/2AM+CM的最小值.
【图文解析】
(1)简析:将点A(﹣4,﹣4)和B(0,4)代入抛物线的解析式y=﹣x2+bx+c,可得关于b、c的方程组,解得b=-2,c=4.所以抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4;
(2)当四边形GEOB是平行四边形时,先作出符合条件的图形,因点的顺序固定,所以答案只有一种,如下图示:
首先先由A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点用待定系数法求出直线AB的解析式,为y=2x+4.
因E是直线AB上的动点,可设E(m,2m+4),如下图示:
得到EG=yG-yE=(﹣m2﹣2m+4)﹣(2m+4)= ﹣m2﹣4m.
当四边形GEOB是平行四边形时,EG=OB=4,即﹣m2﹣4m =4,解得m=﹣2,所以G(﹣2,4).
【反思】若题中的条件“四边形GEOB是平行四边形”改为“以G、E、O、B为顶点的四边形是平行四边形”,则答案有多种。其余相关图形如下:
(3)①由已知条件,不难证明∠EAF=90°,△AEF为直角三角形,所以当以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形时,只有一种可能是四边形AEHF是矩形(点的顺序固定),如下图示:
首先先求出直线AB的解析式为y=2x+4.因E点在直线AB上的动点,所以可设E(a,2a+4),相应地F为(a,﹣1/2a﹣6)(因直线AC:y=﹣1/2x﹣6),
设H(0,p),
如下图示,
因EF是矩形AEHF的对角线,所以EM=FM,得到M(a,3/4a-1).
同理,又可得到M(-2,-2+1/2p),如下图示,
所以a=﹣2,3/4a-1=-2+1/2p.解得a=﹣2,p=﹣1.所以E(﹣2,0).H(0,﹣1).
②将与本小题无关的点与线(包括抛物线删除——解难题前建议先“清理垃圾”),得到:
半径=AE的1/2(或AE=半径的2倍),这与题目“求1/2AM+CM的最小值”中的1/2,显然有必然的联系.
遇到1/2AM+CM常转化为通常的两线段和,进一点转化为“两点之间线段最短”或“垂线段最短”或利用“函数转化为最值问题”,根据题意,本题不宜用函数方法,同时因本题中的动点M是在圆上动,可经常通过“旋转相似”进行转化。
为此,取半径EG(这条半径在OA上)的中点P,连接EM、PM,得到△MEP和△AEM,如下图示:
此时,我们所需要的线段AE=2×根号5,EM=半径=根号5,EP=半径的1/2,不难得到:EM:AE=EP:EM,又∠AEM=∠AEM,所以△MEP∽△AEM,从而得到PM:AP=相似比=1/2,得到PM=1/2AM,成功转化.
“求1/2AM+CM的最小值”就转化为“求PM+CM的最小值”,由于P、C均是定点,且M点在⊙E上运动,根据“两点之间线段最短”(或三角形的三边关系),不难得到:当M落在PC与⊙E的交点上时,PM+CM最小.如下图示:
因此,所求1/2AM+CM的最小值,就是PM+CM的最小值=PC的长.
前面已经证过∠CAE=900,同时:
根据勾股定理,可得:
【反思】注意体会第3小题中的“1/2”的转化,其中“旋转相似”(动点在圆上动)、“平移相似”或“对称相似”是解决此类问题的常见方法.
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【试题3】抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0).
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)该抛物线与直线y=0.6x+3 相交于C、D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方.直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交与点M、N.
①连结PC、PD,如图1,在点P运动过程中,△PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由;
②连结PB,过点C作CQ⊥PM,垂足为点Q,如图2.是否存在点P,使得△CNQ与△PBM相似?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
图文解析:
(1)将A、B两点坐标代入即可.答案为:.
(2)如下图示,设M(t,0),则:
则PN=-0.6t2+4.2t.
①如下图示:
再将PN=-0.6t2+4.2t和C、D两点的横坐标代入,得到:
所以当t=3.5时,△PCD的面积最大,且为1029/40.
②由于∠BMP=∠CQN=90°,所以当CQ:NQ=BM:PM或CQ:NQ=PM:BM时,两三角形相似。
添加如下图如示的辅助线:
可以得到:
【试题4】如图,抛物线y=(1/4) x2+(1/4)x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连结AB,点C(6,15/2)在抛物线上,直线AC与y轴交于点D.
(1)求c的值及直线AC的函数表达式;
(2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连结PQ与直线AC交于点M,连结MO并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.
①求证:△APM∽△AON;
②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).
【图文分析】
(1)将C(6,15/2)代入y=(1/4) x2+(1/4)x+c得c=﹣3,所以抛物线解析式为y=(1/4) x2+(1/4)x-3,当y=0时,(1/4) x2+(1/4)x-3=0,解得x=﹣4或x=3,所以A(﹣4,0).
再利用待定系数法可求得AC的解析式为y=(3/4)x+3.
(2)①如下图示:
不难求得B(0,-3)、D(0,3),得到OB=OD,又OA⊥BD,所以AB=AD,从而得到∠1=∠2.
根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”和“对顶角相等”可得到∠3=∠5.如下图示,
因此,△APM∽△AON.
②如下图示,
分别在Rt△AOB和Rt△AME中,由cos∠1=AE/AM=4/5=cos∠2可得AM=5/4×AE=5/4×(m+4)=5(m+4)/4,同时AP=2m+4.
如下图示,由上一题知△APM∽△AON,得到AN:OA=AM:AP,进一步得到AN=OA×AM/AP,将相关数据代入,得:
(显然本题用相似来解答也可)
反思:本题为二次函数背景下的几何问题的综合应用,涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识,综合性较强.同时最后一小题含式的化简计算(有一定的计算量).
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